Uno de los pensadores más influyentes del final de la Edad Media, sus aportes aún son relevantes en varias áreas del conocimiento.
Leonardo da Pisa nació en 1170 probablemente en Pisa (ahora Italia) y murió en 1250 posiblemente también en Pisa. Leonardo Pisano es mejor conocido por su sobrenombre Fibonacci (figlio diBonacci, es decir, hijo de Bonacci).
Fue miembro de la familia Bonacci. Fibonacci mismo utilizaba a veces el nombre Bigollo, que podría significar "bueno-para-nada" o "viajero". No es claro si el apodo era por considerarlo un hombre que se ocupaba de cuestiones sin valor práctico, o más bien significaba la palabra en el dialecto toscano un hombre que solía viajar mucho, cosa en efecto, hacía.
Fibonacci se educó en el norte de África donde su padre, Guilielmo, era un diplomático, que representaba a los mercaderes de la República de Pisa que comerciaban con Bugia, ahora llamada Bejaia, un puerto mediterráneo en el norte de Argelia.
Fibonacci aprendió matemáticas en Bugia y viajó mucho su padre, reconociendo las enormes ventajas de los sistemas matemáticos utilizados en los países que visitaban. Fibonacci escribe en su famoso libro Liber abaci (1202):
Mi padre quiso que me quedara y recibiera instrucción en la escuela de contaduría. Ahí, cuando me enseñaron el arte de los nueve símbolos de los indios, el conocimiento de este arte muy pronto me complació más que cualquier otra cosa y logré comprenderlo para todo aquello que era estudiado por este arte en Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, en todas sus variantes.
Fibonacci regresó a Pisa en el año 1200. Ahí escribió varios textos que jugaron un papel importante para revivir antiguas habilidades matemáticas e hizo significativas sus propias contribuciones .
Fibonacci vivió antes de que hubiera imprenta, de modo que sus libros eran manuscritos y la única forma de obtener la copia de uno era copiándolo a mano. De sus libros aún hay copias de Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225) y Liber quadratorum.
Sin embargo, escribió otros textos, que se perdieron. Su libro sobre aritmética comercial Di minor guisa se perdió, así como también su comentario sobre el Libro X, Elementos, de Euclides, que contenía un tratamiento de los números irracionales que Euclides había enfocado desde un punto de vista geométrico.
Desde la época en que vivió, su trabajo atrajo un amplio interés, que contribuyó a su importancia. Las aplicaciones prácticas más que los teoremas abstractos, fueron las que lo hicieron famoso entre sus contemporáneos.
El emperador del Sacro Imperio Romano era Federico II, quien apoyaba a Pisa en sus conflictos con Génova en el mar y con Lucca y Florencia en tierra. Federico supo de la obra de Fibonacci gracias a eruditos de su corte que mantenían correspondencia con Fibonacci desde su regreso a Pisa alrededor de 1200.
Entre estos sabios se hallaba Dominicus Hispanus, quien fue el que le sugirió a Federico que conociese a Fibonacci, en ocasión de la reunión de la corte de Federico en Pisa hacia 1225.
Johannes de Palermo, otro miembro de la corte de Federico II presentó varios problemas y desafíos a Fibonacci. Tres de estos problemas fueron resueltos y dio soluciones en su obra Flos, que envió a Federico II.
Liber abaci, publicado en 1202, se basaba en los conocimientos sobre aritmética y álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. El libro presentaba el sistema decimal posicional indo arábigo y el uso de los numerales árabes en Europa.
Aunque se trataba de un libro principalmente destinado al uso de los numerales árabes, conocido como algoritmia, también se estudiaron en esta obra ecuaciones lineales simultáneas.
La segunda sección de Liber abaci contiene una gran colección de problemas destinados a comerciantes. Relacionan el precio de mercancías, cómo calcular las ganancias en las transacciones, cómo convertirlas a las varias monedas en uso en las tierras mediterráneas, así como problemas que se habían originado en China.
Un problema en la tercera sección de Liber abaci condujo a la introducción de los números y de la sucesión de Fibonacci, por los cuales se le recuerda a Fibonacci hoy en día:
Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por pared por todas partes. ¿Qué tantas parejas de conejos pueden producirse a partir de esa pareja en un año, si se supone que cada mes cada pareja produce una nueva pareja que a partir del segundo mes se vuelve fértil?
La sucesión resultante es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Esta sucesión, en la cual cada número es la suma de los dos números precedentes, ha resultado muy fructífera y aparece en muy distintas áreas de las matemáticas y la ciencia.
Muchos otros problemas aparecen en esta tercera sección, incluyendo éstos y muchos más:
Una araña trepa tantos pies por día sobre un muro y se resbala para atrás un cierto tanto cada noche. ¿Cuántos días le toma trepar todo el muro? Un galgo cuya velocidad crece aritméticamente persigue una liebre cuya velocidad también crece aritméticamente. ¿Qué tanto recorren antes de que el galgo atrape la liebre? Calcular cuánto dinero tendrán dos personas después de que cierta cantidad cambia de manos y se da el incremento o decremento proporcional.
También hay problemas que involucran números perfectos, problemas que involucran el teorema chino del residuo y problemas sobre la suma de series aritméticas o geométricas. Fibonacci trata números tales como Ö10 en la cuarta sección, tanto con aproximaciones racionales como con construcciones geométricas.
Otro de los libros de Fibonacci es Practica geometriae escrito en 1220, que contiene una gran colección de problemas geométricos distribuidos en ocho capítulos, con teoremas basados en los Elementos de Euclides Sobre Divisiones.
Además de los teoremas geométricos con demostraciones precisas, el libro incluye información para exploradores, incluyendo cómo calcular la altura de objetos altos usando triángulos semejantes. El capítulo final presenta lo que Fibonacci llamó sutilezas geométricas.
Liber quadratorum, escrito en 1225, es la obra más impresionante de Fibonacci, aunque no sea la obra que lo hizo famoso. El nombre significa libro de los cuadrados y versa sobre teoría de números que, entre otras cosas, examina métodos para hallar ternas pitagóricas.
La influencia de Fibonacci fue más limitada de lo que podría haberse esperado y fuera de su papel en extender el uso de los numerales indo arábigos y de su problema de los conejos, la contribución de Fibonacci a las matemáticas ha sido muy ignorada.
La obra de Fibonacci en teoría de números fue casi totalmente ignorada y virtualmente desconocida durante la edad media. Trescientos años después vemos aparecer sus mismos resultados en la obra de Maurolico.
Aplicaciones de la sucesión de Fibonacci
Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juego. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.
El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido, la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente.
En el estudio bursátil, se consideran un indicador muy importante para ver la magnitud de los retrocesos en la Bolsa:
Ante la confirmación de un retroceso en la cotización, se buscará calcular la probable magnitud del movimiento. Para lograrlo, se aplican ciertos porcentajes obtenidos de la sucesión de Fibonacci a la magnitud total de la tendencia previa.
Los porcentajes utilizados son los siguientes:
61.8%: Conocido también como la proporción áurea, o número áureo, es el límite del cociente que se obtiene de la división de un elemento de la sucesión de Fibonacci entre el siguiente, conforme la serie tiende a infinito.
50.0%: Es el retroceso más comúnmente aceptado, equivalente a la mitad del avance de la tendencia principal.
38.2%: Se obtiene de restar 61.8% de la unidad (1.000 – 0.618 = 0.382).
100%: Equivalente a la magnitud total de la tendencia principal.
Consideraciones a tener en cuenta de la sucesión de Fibonacci
Los porcentajes de retroceso en el análisis bursátil deben ser calculados solamente después de que se ha confirmado el fin de una tendencia, nunca mientras la tendencia continúa vigente.
Teniendo en cuenta que las tendencias siempre forman parte de una tendencia de más largo plazo y a su vez están formadas por tendencias de más corto plazo, la pregunta: ¿Sobre cuál de estas tendencias debo calcular los retrocesos? Puede no tener una respuesta simple. En términos generales, debemos calcular los retrocesos sobre aquella tendencia que haya dado señales claras de terminación.
Se considera que una tendencia débil puede tener un retroceso de 31.8%, mientras que una tendencia muy fuerte puede tener un retroceso de 61.8%, antes de retomar su dirección original.
Algunos libros mencionan una zona crítica de 33 al 38.2%, y de 61.8 a 67%, en lugar de los niveles específicos.
Las críticas más importantes en contra de los retrocesos de Fibonacci están fundamentadas en la teoría del paseo aleatorio, argumentando que no hay justificación para suponer que la acción del precio tenga razón alguna para respetar niveles predeterminados de retroceso.
Los retrocesos de Fibonacci forman una parte importante de la Teoría de ondas de Elliott.